Sudut antara dua vektor ataupun antara dua subruang merupakan konsep penting yang diperlukan dalam berbagai bidang penelitian, seperti statistika, fisika, biokimia, grafika komputer, teknik elektro, hingga geometri ruang. Sebagai contoh, dalam statistika, sudut antara dua subruang terkait dengan pengukuran ketergantungan antara dua peubah acak. Salah satu alat ukur yang digunakan adalah koefisien korelasi, yang menyatakan sejauh mana variabel y yang memuat lebih dari satu entri bergantung pada variabel x yang juga memuat lebih dari satu entri. Koefisien ini dihitung menggunakan rumus yang melibatkan notasi hasil kali dalam dan memiliki hubungan erat dengan sudut antar subruang.
Untuk melihat pentingnya penelitian matematika murni, kita dapat mengilustrasikannya dengan pemainan sepak bola. Dalam permainan sepak bola, ada yang berperan menjadi kiper, bek, gelandaang, hingga striker. Dalam penelitian matematika murni, pekerjaan menciptakan konsep, formula, ataupun teorema dapat diibaratkan sebagai tugas seorang bek klub sepak bola. Setelah itu, hasilnya diteruskan kepada gelandang untuk dikembangkan lebih lanjut, dan akhirnya kepada penyerang yang menerapkannya dalam dunia nyata. Penelitian ini memang lebih berfokus pada bidang ilmu dasar yang akan digunakan oleh para peneliti terapan yang bermain sebagai gelandang atau penyerang.
Sudut antar subruang pada dasarnya merupakan salah satu objek bahasan di ruang vektor Euclid. Ruang vektor Euclid merupakan ruang vektor n dimensi (bisa satu dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, dst) yang dilengkapi hasil kali titik. Hasil kali titik sendiri merupakan alat yang dapat digunakan untuk menentukan sudut antara dua vektor di ruang tersebut. Kemudian, hasil kali titik ini dapat diperumum menjadi hasil kali dalam. Lebih lanjut, untuk ruang vektor lain yang dilengkapi hasil kali dalam, sudut antara dua vektornya ternyata tetap dapat diukur. Ruang vektor ini disebut ruang hasil kali dalam. Pada ruang hasil kali dalam, terdapat konsep ortogonalitas dua buah vektor berdasarkan hasil kali dalam tersebut. Kemudian matematikawan juga memperumum konsep hasil kali dalam menjadi hasil kali dalam-n. Hasil kali dalam-n dapat diinterpretasikan sebagai sudut antara dua paralelpipedium berdimensi n yang memiliki basis berdimensi n-1 yang sama. Konsep ortogonalitas di ruang hasil kali dalam-n telah dikemukakan berbagai matematikawan. Berawal dari konsep ortogonalitas yang dikemukakan Khan dan Siddiqui kemudian Cho dan Kim hingga Godini, dibangunlah konsep ortogonalitas-G oleh Gunawan dkk yang lebih presisi. Namun konsep tersebut tidak bisa digunakan pada ruang berdimensi n. Mengkaji ortogonalitas-ortogonalitas yang telah dikemukakan di atas merupakan hal yang menarik. Usaha untuk merekonstruksi konsep ortogonalitas baru untuk kasus berdimensi n merupakan suatu tantangan tersendiri. Fakta bahwa hasil kali dalam dapat diinduksi dari hasil kali dalam-n ternyata bisa menjadi jembatan untuk memberi perspektif baru mengenai konsep ortogonalitas dan ortonormalitas di ruang hasil kali dalam-n. Penelitian ini telah berhasil merekonstruksi konsep ortogonalitas di ruang hasil kali dalam-n menggunakan hasil kali dalam yang diinduksi dari hasil kali dalam-n.
Penelitian ilmu dasar (Matematika Murni/Teoretik) ini telah berhasil merekonstruksi konsep ortogonalitas di ruang hasil kali dalam-n menggunakan hasil kali dalam yang diinduksi dari hasil kali dalam-n untuk selanjutnya digunakan di bidang terapan